| Dozent: | Dietmar Gallistl |
|---|---|
| Übungen: | Stefan Meggendorfer |
| Vorlesungsdaten: | LSF, LSF (Übung) |
| Theoretische Übungen: | Müsli |
| Praktische Übungen: | Mo 15-18, PC-Pool SW 1+2 (INF 205) |
Abgabe der Übungszettel in (2er bis) 3er Gruppen immer donnerstags in der Vorlesung.
Für den Lernerfolg ist die Bearbeitung der theoretischen Übungsaufgaben
grundlegend. Die Konzepte der Vorlesung werden hier noch einmal verdeutlicht und
können somit erlernt und auf Verständnis überprüft werden.
Die Tutorien dienen dazu, die verschiedenen Lösungsansätze zu diskutieren
und eine Rückmeldung der bearbeiteten Aufgaben zu bekommen.
Das Bearbeiten der Aufgaben, sowie die Teilnahme an den Tutorien und das Vorstellen
der eigenen Lösungen in den Gruppen wird dringend empfohlen.
Als Lernhilfe haben die Tutoren eine kurze Zusammenfassung der Matrix-Zerlegungen erstellt.
Die Programmierübungen finden immer montags 15-18 Uhr im PC-Pool SW 1+2 (INF 205) statt.
Für das Verständnis der numerischen Mathematik ist die Behandlung
der Theorie unerlässlich, doch ihre praktische Umsetzung ist heutzutage
nicht mehr ohne computergestützte Systeme denkbar.
Damit bieten die Programmierübungen eine ideale Ergänzung sowie
Vertiefung des Vorlesungsstoffes, da die theoretisch erlernten Kenntnisse
in Programmen praktisch angewandt werden.
Wir empfehlen ausdrücklich, an diesem Angebot
teilzunehmen.
Für die Bearbeitung der Programmieraufgaben kann jede beliebige Programmiersprache verwendet werden (wie Gnu Octave/Matlab, C++ oder C, Python, Lisp, ...). Unterstützung beim Programmieren wird aber nur in Gnu Octave/Matlab und C++ angeboten.
Wer in C++ programmieren möchte, kann (bei Bedarf) die Heidelberger Numerikbibliothek hdnum benutzen. Dort ist eine Reihe wichtiger Tools vorprogrammiert, die zur Bearbeitung numerischer Aufgaben benötigt werden, wie z.B. Klassen für Vektoren- und Matrizen, Löser für lineare/nichtlineare Gleichungssysteme, Löser für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen, etc. Eine Einführung in die Bibiliothek finden Sie hier.
Als Hilfe zum Programmieren können die Folien vom Einführungskurs in Gnu Octave, sowie eine Kurzreferenz zu Matlab-Befehlen heruntergeladen werden.
Die Vorlesung wird sich weitestgehend an das Buch Numerik 0 - Einführung in die numerische Mathematik von Herrn Prof. Rannacher halten. Weiterführende und ergänzende Literatur finden Sie im Literaturverzeichnis des Buches oder in der Bereichsbibliothek Mathematik. Z.B.
Die nötigen Grundkenntnisse in linearer Algebra sollten in jedem Buch zu dem Thema zu finden sein (z.B. G.Fischer: Lineare Algebra. Springer).
Die Klausur wird am 15.02.2018, 12-14 Uhr im großen Hörsaal der Chemie (INF 252) stattfinden. (Einlass bis 12:10 Uhr!)
Bitte melden Sie sich außerdem innerhalb von Müsli zur Klausur an (Müsli -> Vorlesung -> Klausur -> Anmeldung), damit wir einen Überblick über die Teilnehmerzahl bekommen. Dies dient ausschließlich der Organisation der Klausur und hat keine weiteren (rechtlichen) Auswirkungen.
Hinweis zur Klausureinsicht: Diese wird stattfinden am Montag 19.02.2018 um 10 Uhr in Raum 1.414 (Mathematikon).
Hinweise zur Nachklausur: Als Nachklausur zählt die reguläre Klausur der Vorlesung "Einführung in die Numerik" im Sommersemester 2018. Zur Nachklausur ist zugelassen, wer die Klausur nicht bestanden hat oder ein ärztliches Attest für den Klausurtermin vorlegt.
| 17. Okt: | (1) Fehleranalyse. §1.1 Gleitkommazahlen. Fest-/Gleitpunktdarstellung, Maschinenzahlen, Rundung, Maschinengenauigkeit, Maschinenoperationen, §1.2 Konditionierung numerischer Aufgaben. Konditionierung, relativer und absoluter Fehler |
|---|---|
| 19. Okt: | Konditionszahlen, Auslöschung, Algorithmen, Stabilität von Algorithmen, Vorwärtsrundungsfehleranalyse, Horner-Schema. (2) Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme. |
| 24. Okt: | §2.1 Störungstheorie. Vektornormen, Konvergenz, Matrizennormen, Operatornorm (natürliche Matrizennorm), Eigenwerte, Skalarprodukte, Spektralnorm, Neumannsche Reihe |
| 26. Okt: | Störungssatz, Konditionszahl, Spektralkondition §2.2 Gauß-Elimination und LR-Zerlegung. Permutations- und Frobeniusmatrizen, Gauß-Algorithmus, Pivotsuche, Systeme in Dreiecksgestalt |
| 02. Nov: | LR-Zerlegung (Existenz und Algorithmus), Cholesky-Zerlegung, §2.3 Nichtreguläre Systeme und Orthogonalisierung. Residuum, Kleinste-Quadrate-Lösung, Gaußsche Normalgleichung, Äquivalenz- und Existenzsatz |
| 07. Nov: | Pseudoinverse und ihre Kondition, QR-Zerlegung, Gram-Schmidt-Verfahren, Householder-Transformationen |
| 09. Nov: | Householder-Algorithmus. (3) Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme. §3.1 Klassische Iterationsverfahren. Stationäre lineare Prozesse, Fixpunktiteration, Spektralradius, Charakterisierungssatz für Konvergenz, Konvergenzgeschwindigkeit |
| 14. Nov: | Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, starke/schwache Zeilensummenbedingung, zerfallende vs. irreduzible Matrizen, Konvergenzkriterien für Jacobi und Gauß-Seidel, Speicherung dünn besetzter Matrizen, SOR-Verfahren, §3.2 Abstiegsverfahren für s.p.d. Systeme. Minimierung quadratischer Funktionale, Gradientenverfahren |
| 16. Nov: | Eigenschaften des Gradientenverfahrens, Energienorm, Konvergenzsatz (Beweis in den Übungen), A-Orthogonalität, Lemma über konjugierte Richtungen, Zusammenhang zur Minimierung über Unterräume |
| 21. Nov: | Verfahren der konjugierten Richtungen (cg-Verfahren), Eigenschaften des cg-Verfahrens, Lemma zur Konvergenz des cg-Verfahrens |
| 23. Nov: | Konvergenz des cg-Verfahrens, Tschebyscheff-Polynome, Vorkonditionierung. (4) Numerik algebraischer Eigenwertaufgaben. §4.1 Grundlagen. Spektrum, Stabilitätslemma, Satz über die Gerschgorin-Kreise |
| 28. Nov: | Konditionierung des Eigenwertproblems, Potenzmethode, Konvergenzsatz zur Potenzmethode |
| 30. Nov: | Inverse Iteration nach Wielandt, §4.2 Das QR-Verfahren. Idee des QR-Verfahrens, Hessenberg-/Tridiagonalmatrizen, Reduktion auf Hessenberg-Gestalt, QR-Algorithmus, Komplexitätsbetrachtungen |
| 5. Dez: | Konvergenz des QR-Verfahrens |
| 7. Dez: | (5) Nichtlineare Gleichungen. §5.1 Fixpunktiteration. Banachscher Fixpunktsatz, Schrankensatz, Kriterien für die Anwendbarkeit der Fixpunktiteration, §5.2 Das Newton-Verfahren. |
| 12. Dez: | Newton Verfahren, Satz von Newton-Kantorovich, Beweis des Satzes (1.Teil) |
| 14. Dez: | Beweis des Satzes von Newton-Kantorovich (2.Teil), Vereinfachtes Newton-Verfahren, Gedämpftes Newton-Verfahren, Lokaler Konvergenzsatz des gedämpften Newton-Verfahrens |
| 19. Dez: | §5.3 Sekantenverfahren. Das Sekantenverfahren, Konvergenz des Sekantenverfahrens |
| 21. Dez: | §5.4 Exkurs über Julia-Mengen. Julia- und Fatou-Mengen rationaler Funktionen, periodische Punkte, Fixpunte, Zusammenhang zum Newton-Verfahren, Newton-Fraktal, Numerische Beispiele: Programm: julia.m, Beispiel 1: f(z)=z^3-1 jpg-Datei (616KB), Beispiel 2: f(z)=x^5-x^3-1 jpg-Datei (724KB) (jeweils ohne Dämpfung) |
| 9. Jan: | (6) Interpolation und Approximation. §6.1 Lagrange-Interpolation. Eindeutige Lösbarkeit der Lagrangeschen Interpolationsaufgabe, Lagrange-Basispolynome, Newton-Basispolynome, dividierte Differenzen, Satz über die Newton-Darstellung |
| 11. Jan: | Symmetrieeigenschaft der dividierten Differenzen, Neville-Darstellung, Neville-Schema, Fehlerdarstellung der Lagrange-Interpolation Teil I und II |
| 16. Jan: | Richardson-Extrapolation, §6.2 Spline-Interpolation. Splines, kubischer Spline, Existenz und Eindeutigkeit des interpolierenden natürlichen kubischen Splines, Minimierungseigenschaft des kubischen Splines |
| 18. Jan: | LGS zur Bestimmung des interpolierenden natürlichen kubischen Splines, §6.3 Trigonometrische Interpolation. Trigonometrische Polynome, diskrete Fourier-Analyse |
| 23. Jan: | Diskrete Fourier-Transformation (DFT), Rekursionsbeziehungen in der DFT, Schnelle-Fourier-Transformation (FFT), Bit-Umkehr, Komplexität der FFT |
| 25. Jan: | (7) Numerische Integration. §7.1 Interpolatorische Quadraturformeln. Herleitung von Quadraturformeln, Exaktheitsgrad bzw. Ordnung einer Quadraturformel, Newton-Cotes-Formeln, Beispiele, Lemma zu dividierten Differenzen, Restglieddarstellung für Trapez-, Simpson-, Mittelpunktregel |
| 30. Jan: | Beweis der Restglieddarstellung, summierte Quadraturformeln, Fehlerdarstellung für summierte Trapez-, Simpson-, Mittelpunktregel, §7.2 Gauß-Quadratur. Satz über die maximale Ordnung interpolatorischer Quadraturformeln, Idee der Gauß-Quadratur, Skalarprodukt auf L²(a,b), orthogonale Polynome |
| 1. Feb: | Satz über die Nullstellen orthogonaler Polynome, Legendre-Polynome, Satz über Existenz und Eindeutigkeit einer interpolatorischen Quadraturformel mit (n+1) Stützstellen und exakter Behandlung von Polynomen des Grades (2n+1), Gauß-Quadratur, Konvergenz der Gauß-Quadratur |
| 6. Feb: | Gewichtete Skalarprodukte, Tschebyscheff-Polynome, Charakterisierung orthogonaler Polynome durch Drei-Term-Rekursion, Berechnung der Gaußschen Stützstellen als Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen |
| 8. Feb: | Ausblick und Bemerkung zur Romberg-Quadratur, Fragestunde |
